Ich habe das Problem gelöst. Es war falsch, die RDS-Instanz auf "öffentlich zugänglich" zu setzen. Ich nahm an, dass dies "auf das Netzwerk hören" bedeutet, aber ich hätte feststellen müssen, dass das nicht richtig sein konnte.
Wenn die RDS-Instanzen "öffentlich zugänglich" sind, bewirkt Windows, dass der DNS-Name in die externe (öffentliche) IP-Adresse aufgelöst wird, wodurch das Routing verwirrt wird. Durch Deaktivieren des öffentlichen Zugriffs wird der DNS-Eintrag in die private IP-Adresse aufgelöst, und alles ist in Ordnung.