Ich habe endlich herausgefunden, was das Problem war. Ich verwende die Routing-Option von OpenVPN, die ein neues Subnetz für alle OpenVPN-Verbindungen erstellt. Mein Client erhielt eine IP-Adresse aus diesem Subnetz und auch mein Server, sodass sie über dieses Netzwerk miteinander kommunizieren konnten. Mit aktivierter IPv4-Weiterleitung auf meinem Server konnte ich auch Pakete in mein LAN senden und es war offensichtlich möglich, über die IP-Adresse des LANs mit dem Server zu kommunizieren.
Als der Client versuchte, mit anderen Computern in meinem LAN zu kommunizieren, erreichten die Pakete von meinem Client meine LAN-Hosts (ich habe dies nicht bestätigt, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass sie es waren), aber die Quelladresse dieser Pakete war die Adresse aus dem OpenVPN-Netzwerk. Die LAN-Hosts wussten, dass sich das nicht in ihrem LAN befand, und das einzige, was sie in diesem Fall wussten, war, sie an das Standard-Gateway zu schicken, das mein Router war. Ich bezweifle, dass es irgendetwas mit ihnen getan hat, da das Senden eines Pakets an einen privaten IP-Bereich ins Internet sinnlos ist.
Die Lösung besteht darin, allen LAN-Hosts eine statische Route hinzuzufügen oder die Option "Bridging" von OpenVPN anstelle von "Routing" zu verwenden. Ich habe das noch nicht getan, bin aber sicher, dass dies der Weg ist.