Zur Beantwortung Ihrer ersten Frage wird dies als "Push-Benachrichtigung" bezeichnet. Hier ist eine Ressource, die ich gefunden habe, um sie zu aktivieren: http://www.solvemix.com/index.php/android-smartphones/516-samsung-galaxy-s6-gmail-push-notifications-are-not-received-solution
Was Ihr Telefon nicht als Erstes angeht: Ich glaube nicht, dass dies möglich ist, weil Ihr Telefon per Definition mobil ist. Dies bedeutet, dass sich seine IP-Adresse ständig ändert, wenn Sie Mobilfunkstandorte durchlaufen oder verschiedene WLAN-Hotspots verbinden. Zumindest muss Ihr Telefon dem Server mitteilen, wo Sie sich befinden, wenn sich Ihre IP ändert. Diese Nachrichten sind jedoch sehr klein (weniger als 100 Byte) und sollten Ihre Bandbreite nicht stark beeinträchtigen (Sie müssten 1.048.576 dieser Nachrichten senden, um auch nur ein Megabyte zu erreichen).