Dazu müssen Sie über eine IMAP-Verbindung auf Ihre E-Mails zugreifen können. Wenn es keine spezielle Archivierungs-Download-Option von den Webmail-Clients gibt (und ich kenne keine außer Eichhörnchen), ist dies die einzige Option von AFAIK. Wenn der Anbieter nur POP anbietet, können Sie Ihre Nachrichten zumindest archivieren. Sie können sie jedoch nur auf dem neuen Server importieren, wenn er IMAP unterstützt.
Ermitteln Sie die Verbindungseinstellungen von Ihrem Provider und richten Sie Thunderbird oder den Client Ihrer Wahl ein. (Ich mache das in Apple Mail routinemäßig.) Bei IMAP kopieren Sie einfach die Nachrichten aus dem Ordner auf Ihrem Server in einen lokalen auf dem Client, konfigurieren Sie dann den Client für den neuen Server neu und kopieren Sie sie zurück.
Mit POP ist es etwas komisch, da dieses Protokoll nur in eine Richtung verläuft. Möglicherweise müssen Sie einige Änderungen am Client vornehmen, damit alle Ihre alten Nachrichten heruntergeladen werden können. Sobald Sie dies getan haben, verfügen Sie jedoch über ein lokales Archiv.