Nachdem ich mit mehreren Abteilungen in meinem Unternehmen herumgegangen war und mehrere mögliche Lösungen ausprobiert hatte, fand ich schließlich das Problem:
Der InPrivate-Browsermodus von Internet Explorer ist nicht mit dem Anwendungsspeicher von Silverlight kompatibel.
Nachdem der InPrivate-Modus deaktiviert wurde, funktionierte die App ordnungsgemäß. Ich vermute hier, dass InPrivate verhindert, dass Silverlight etwas in seinem App-Speicher speichert.