Sie scheinen ein Problem mit stdout zu haben, da cron sich dafür entscheidet, E-Mails an nicht zu senden. Wenn keine Ausgabe erfolgt, sendet cron keine E-Mail.
Ich würde es vorziehen, alles in ein Skript wie folgt zu setzen:
echo "Mobile Backup has started!" tar -zvcf /home/backups/sql/01_MondaySQL.tgz /home/mysql/automysqlbackup > /home/report.txt mail -s 'backup Report' example@gmail.com < /home/report.txt
und Ihr Cron würde dieses Skript einfach nennen.