Dies sind zwei verschiedene Fragen.
Klicken Sie auf "X": Nein, das ist nicht möglich. Wenn jedoch ein Unterbefehl ausgeführt wird (nicht nur Ihre Shell, die direkt von gestartet wird gnome-terminal), wird ein Bestätigungsdialogfeld angezeigt, bevor Sie das Terminal schließen.
Für die Eingabe von "exit": Ja, das ist möglich. Gehen Sie zu Profileinstellungen -> Befehl und legen Sie fest, wann der Befehl beendet wird: Neustart oder Halten (je nachdem, was Sie bevorzugen).